1) Корень кос/кас со значение касаться. Если есть суффикс "а" - пишется "а". Если суффикса "а" нет, то пишется "о".
Коснулся, соприкасаться. 
Корень лаг/лож. Если на конце "г" пишется "а", если "ж" - "о".
Слагаемое, предлагать, изложение, сложение, изложили.
2) Косилка (кОсят), покосился (кОсо), косарь (кОсит), косичка (кОсы), косолапый (кОсо), ложбинка (лОже).