Журналист
Капитон 28 октября 2019 в 06:25

Решите два несложных уравнения: а) |2х+1|=|х+2| и б) |х²-2х-1|-х+1=0

|2x+1|=|x+2|
-----------------------------------
|2x+1|-|x+2|=0
умножим уравнение на выражение: |2x+1|+|x+2|
и получим уравнение:
(|2x+1|-|x+2|)*(|2x+1|+|x+2|)=0
данное уравнение является эквивалентным исходному, т.е. множество корней исходного уравнения совпадает с множеством коней полученного, так как исходное уравнение было умножено на всегда положительное выражение, т.е. на |2x+1|-|x+2| textgreater 0
(подмодульные выражения 2x+1 и x+2 принимают значение 0 при различных значениях x, по этому сумма указанных выше двух модулей всегда строго положительна)

итак наше новое уравнение упрощается за формулой сокращенного умножения (a-b)(a+b)=a^2-b^2:
(|2x+1|)^2-(|x+2|)^2=0
(2x+1)^2-(x+2)^2=0
[(2x+1)-(x+2)]*[(2x+1)+(x+2)]=0
[x-1]*[3x+3]=0
(x-1)(x+1)=0
x=pm1

Ответ: pm1
----------------------------------------
|x^2-2x+1|-x+1=0
-----------------------------------
|(x-1)^2|-x+1=0
(x-1)^2-(x-1)=0
(x-1)*(x-1)-(x-1)*(1)=0
(x-1)*[(x-1)-(1)]=0
(x-1)(x-2)=0

Ответ: 1;2
-------------------------------------------
|x^2-2x-1|-x+1=0
--------------------------
разложим на множители выражение x^2-2x-1
D=2^2-4*1*(-1)=4+4=8=(2 sqrt{2} )^2
нули этого многочлена:
x_{1,2}= frac{2pm2 sqrt{2} }{2}=1pm sqrt{2}
имеем:
|[x-(1- sqrt{2} )]*[x-(1+ sqrt{2} )]|-x+1=0
|x-(1- sqrt{2})|*|x-(1+ sqrt{2} )|-x+1=0
точки 1pm sqrt{2} разбивают множество действительных чисел на три интервала:

1) если xin(-infty;1- sqrt{2}] , то имеем уравнение (оба модуля раскрываются с минусом):
(-1)*(x-(1- sqrt{2}))*(-1)*(x-(1+ sqrt{2} ))-x+1=0
(x-(1- sqrt{2}))*(x-(1+ sqrt{2} ))-x+1=0
(x^2-2x-1)-x+1=0
x^2-3x=0
x(x-3)=0
x=0,or,x=3

оба корня не попали в интервал (-infty;1- sqrt{2}] , значит из этой ветки корней для исходного уравнения не оказалось

2) если xin(1- sqrt{2};1+ sqrt{2} ] (один модуль раскрывается с минусом, а второй с плюсом), то:

(x-(1- sqrt{2}))*(-1)*(x-(1+ sqrt{2} ))-x+1=0
-(x^2-2x-1)-x+1=0
x^2-2x-1+x-1=0
x^2-x-2=0
x^2+x-2x-2=0
x(x+1)-2(x+1)=0
(x+1)(x-2)=0
x=-1,or,x=2

в промежуток (1- sqrt{2};1+ sqrt{2} ] попадает лишь корень 2 - первое найденное решение исходного уравнения

3) если xin(1+ sqrt{2};+infty) то оба модуля раскрываются с плюсом, и мы получаем точно такое же уравнение, как и в случае 1)
т.е. x=0,or,x=3. В указанный интервал попадает лишь корень 3 - второе и последнее решение исходного уравнения.

Ответ: 2;3
Вычисления
Для комментирования необходимо зарегистрироваться на сайте