Журналист
Ширяй 28 октября 2019 в 06:50

11 класс Интеграллы . Помогите .
84 задание говорить что надо доказать равенство

arcsin(x)+arccos(x)=frac{pi}{2}
-----------
Пусть  alpha =arcsin(x) и  beta =arccos(x).
Теперь нам нужно доказать, что  alpha + beta = frac{pi}{2}
Имеем x=sin( alpha ), где  alpha in[- frac{pi}{2}; frac{pi}{2} ], и также x=cos( beta ), где  beta in[0;pi]
Откуда sin( alpha )=cos( beta ). Используя формулу приведения имеем:
sin( alpha )=sin( frac{pi}{2}- beta )
Отметим, что угол frac{pi}{2}- beta и угол  alpha оба принадлежат промежутку [- frac{pi}{2}; frac{pi}{2} ].
Если равны синусы двух углов, которые принадлежат интервалу [- frac{pi}{2}; frac{pi}{2} ], то равными также будут и эти углы, т.е.:
alpha = frac{pi}{2}- beta
alpha+ beta = frac{pi}{2}

Что и требовалось доказать

-----------------------------------
формула arctg(x)+arcctg(x)= frac{pi}{2}
alpha =arctg(x),  beta =arcctg(x)

x =tg( alpha ), где   alpha in(- frac{pi}{2}; frac{pi}{2} )
x =ctg( beta ), где   beta in(0;pi)

Теперь нам нужно доказать, что  alpha + beta = frac{pi}{2}

Аналогично: tg( alpha )=ctg( beta )
tg( alpha )=tg( frac{pi}{2} - beta )
Углы frac{pi}{2} - beta и alpha  принадлежат интервалу (- frac{pi}{2}; frac{pi}{2} )

значит и  alpha = frac{pi}{2}- beta
alpha+ beta = frac{pi}{2}

Что и требовалось доказать
Вычисления
Для комментирования необходимо зарегистрироваться на сайте