Начнем с того, что в задаче угол β2  указан неправильно.

а теперь поехали  по т. синусов.-   смотри   файл

рассмотрим  желтый, зеленый и голубой треугольники
  а/sinβ2=b/sinα1
  b/sinΔ2=c/sinβ1
  c/sinα2=a/sinΔ1
перемножаем левые и правые части
abc/(sinβ2*sinΔ2*sinα2)=bca/(sinα1*sinβ1*sinΔ1)

сокращаем на abc,  домножаем, группируем и получаем

sinα1     sinβ1   sinΔ1
-------- * --------- *--------- = 1
sinα2      sinβ2   sinΔ2