Журналист
Павел 2 ноября 2019 в 09:28

Решить методом интегрирования по частям:1)∫sin³xdx
2)∫ln²x/x²dx
3)∫x²sin2xdx

1) Этот пример не имеет смысла решать интегрируя частями

intlimits {sin^3(x)} , dx = intlimits {sin^2(x)} , d(-cos(x))=- intlimits {(1-cos^2(x))} , d(cos(x))=
=- intlimits { , d(cos(x))+ intlimits {cos^2(x)} , d(cos(x)) =-cos(x)+ frac{cos^3(x)}{3}+C

2) 
intlimits { frac{ln^2(x)}{x^2} } , dx =amp;#10; intlimits {ln^2(x)} , d(- frac{1}{x} ) =amp;#10; ln^2(x)*(- frac{1}{x} ) - intlimits {(- frac{1}{x} )} , d(ln^2(x)) =amp;#10;
= ln^2(x)*(- frac{1}{x} ) + intlimits { frac{1}{x}*2*ln(x)* frac{1}{x} } , dx =
= - frac{ln^2(x)}{x} +2 intlimits {ln(x)} , d(- frac{1}{x} ) =
= - frac{ln^2(x)}{x} +2[ln(x)*(- frac{1}{x} )- intlimits {(- frac{1}{x} )} , d(ln(x))] =
= - frac{ln^2(x)}{x} - frac{2ln(x)}{x}+ 2intlimits { frac{1}{x} * frac{1}{x} } , dx =
= - frac{ln^2(x)}{x} - frac{2ln(x)}{x}+ 2intlimits {x^{-2} } , dx amp;#10;= - frac{ln^2(x)}{x} - frac{2ln(x)}{x}+ 2*frac{x^{-2+1}}{-2+1}+C =
= - frac{ln^2(x)}{x} - frac{2ln(x)}{x}-frac{2}{x}+Camp;#10;=- frac{ln^2(x)+2ln(x)+2}{x}+C=

3)
intlimits {x^2sin(2x)} , dx = intlimits {x^2} , d( -frac{cos(2x)}{2} ) =amp;#10; -frac{x^2cos(2x)}{2}+ frac{1}{2} intlimits {cos(2x)} , d(x^2) =
= -frac{x^2cos(2x)}{2}+ intlimits {xcos(2x)} , dx =amp;#10; -frac{x^2cos(2x)}{2}+ frac{1}{2} intlimits {x} , d(sin(2x)) =
= -frac{x^2cos(2x)}{2}+ frac{1}{2}[xsin(2x)- intlimits {sin(2x)} , dx] =
= -frac{x^2cos(2x)}{2}+ frac{xsin(2x)}{2}- frac{1}{4}* intlimits {sin(2x)} , d(2x) =
= -frac{x^2cos(2x)}{2}+ frac{xsin(2x)}{2}+ frac{1}{4}*cos(2x)+C=
= frac{1-2x^2}{4}*cos(2x)+ frac{x}{2}*sin(2x)+C
Вычисления
Для комментирования необходимо зарегистрироваться на сайте