Журналист
Sevazhezh 3 ноября 2019 в 06:30

Y=ln(x+4)^2+2x+7 найти точку максимума

y_x(x)=(ln^2(x+4)+2x+7)_x=2*ln(x+4)*(ln(x+4))_x+2=amp;#10;
=2*ln(x+4)* frac{1}{x+4}*(x+4)_x +2=2*ln(x+4)* frac{1}{x+4}*1 +2=amp;#10;
= frac{2ln(x+4)}{x+4} +2

ищем экстримальные (подозрительные на экстремум) точки из уравнения: frac{2ln(x+4)}{x+4} +2=0
frac{ln(x+4)}{x+4} + frac{x+4}{x+4} =0
frac{ln(x+4)+x+4}{x+4} =0
это уравнение равносильно уравнению ln(x+4)+x+4=0
поскольку запрет x neq -4 для него сохраняется.
ln(x+4)=-(x+4)
функция ln(x+4) монотонно растет, функция же -(x+4) монотонно убывает, что означает, что у уравнения существует лишь один корень.
откуда x+4=exp(-W(1))
x=exp(-W(1))-4
где W - функция Ламберта

Ладно отложим в сторону прямой поиск экстремумов, покажем, что при устремлении x в бесконечность, действительные значения исследуемой функции также тогда устремятся в бесконечность:
lim_{x to +infty} (ln^2(x+4)+2x+7)=
=lim_{x to +infty} ln^2(x+4)+ lim_{x to +infty}( 2x+7)=+infty+(+infty)=+infty
Что означает, что у функции не существует максимального значения, начиная с некоторого значения x, она непрерывно растет.
Все было проще.

Если же спрашивался экстремум - то он тут один - и находится из уравнения ln(x+4)=-(x+4)

Вычисления
Для комментирования необходимо зарегистрироваться на сайте