1)
ОДЗ:  х≠0



Раскладываем на множители:
x²+4x+3=0
D=4² -4*3=16-12=4
x₁=(-4-2)/2= -3
x₂=(-4+2)/2= -1

x² +4x+3=(x+3)(x+1)



Используем метод интервалов:
x(x+3)(x+1)≤0
x=0       x+3=0         x+1=0
             x= -3           x= -1
       -                +                 -                  +
---------- -3 ----------- -1 ------------- 0 -------------
\\\\\\                         \\\\\\\

x= -4         -    -    -  | -
x= -2         -    +   -  | +
x= -0.5      -    +   + | -
x= 1          +   +   + | +

С учетом ОДЗ  x∈(-∞; -3]U[-1; 0)
Ответ: (-∞; -3]U[-1; 0).

2)
ОДЗ: x≠0


Разложим на множители:
x²-2x-8=0
D=(-2)² -4*(-8)=4+32=36=6²
x₁=(2-6)/2= -2
x₂=(2+6)/2=4

x²-2x-8=(x+2)(x-4)



Метод интервалов:
x(x+2)(x-4)gt;0
x=0    x= -2       x=4
       -               +                 -                +
---------- -2 ----------- 0 ------------ 4 -------------
                 \\\\\\                       \\\\\\\
x= -3              -   -    -  |  -
x= -1              -   +   -  |  +
x= 1               +  +   -  |  -
x= 5               +   +  +  |  +

С учетом ОДЗ: x∈(-2; 0)U(4; +∞)
Ответ: (-2; 0)U(4; +∞).

3) x²(x+3)gt;0

Метод интервалов:
x=0        x= -3
         -               +                +
----------- -3 ------------- 0 -------------
                  \\\\\\\\     \\\\\\\

x= -4     +   -  |  -
x= -1     +  +  |  +
x= 1      +  +  |  +

x∈(-3; 0)U(0; +∞)
Ответ: (-3; 0)U(0; +∞).

4)
(x-1)²(x-5)≤0

Метод интервалов:
x=1            x=5
     -              -                +
--------- 1 ---------- 5 -------------
\\\\\    \\\\\\

x=0      +   -   |   -
x=2      +   -   |   -
x=6      +   +  |   +

x∈(-∞; -5]
Ответ: (-∞; -5].

5)
(x+3)²(x²-10x+21)≥0

Разложим на множители:
x²-10x+21=0
D=(-10)² -4*21=100-84=16=4²
x₁=(10-4)/2=3
x₂=(10+4)/2=7
x²-10+21=(x-3)(x-7)

Метод интервалов:
(x+3)²(x-3)(x-7)≥0
x= -3     x=3      x=7
      +              +               -              +
--------- -3 ---------- 3 ---------- 7 -----------
\\\\\\\\\\\\\\                    \\\\\\

x= -4     +   -   -   |   +
x= 0      +   -   -   |   +
x= 4      +   +  -   |   -
x= 8      +   +  +  |   +

x∈(-∞;3]U[7; +∞)
Ответ: (-∞; 3]U[7; +∞)

6)
(x-1)(x²-7x+6)≥0

Разложим на множители:
x²-7x+6=0
D=(-7)²-4*6=49-24=25=5²
x₁=(7-5)/2=1
x₂=(7+5)/2=6
x²-7x+6=(x-1)(x-6)

Метод интервалов:
(x-1)(x-1)(x-6)≥0
(x-1)²(x-6)≥0
x=1         x=6
      -               -              +
--------- 1 ----------- 6 -----------
                                \\\\\\\

x=0     +   -   |   -
x=2     +   -   |   -
x=7     +   +  |   +

x∈{1}U[6; +∞)
Ответ: {1}U[6; +∞)

7)
(x²-6x+9)(6-5x-x²)gt;0
-(x²-6x+9)(x²+5x-6)gt;0
(x²-6x+9)(x²+5x-6)lt;0

Разложим на множители:
а) x² -6x+9=(x-3)²
b) x²+5x-6=0
    D=5² -4*(-6)=25+24=49=7²
    x₁=(-5-7)/2= -6
    x₂=(-5+7)/2=1
    x²+5x-6=(x+6)(x-1)

Метод интервалов:
(x-3)²(x+6)(x-1)lt;0
x=3    x= -6     x=1
        +                 -                  +                  +
------------ -6 ------------ 1 --------------- 3 ------------
                    \\\\\\\

x= -7     +   -   -   |   +
x= 0      +   +   -   |   -
x= 2      +   +   +  |   +
x= 4      +   +   +  |   +

x∈(-6; 1)
Ответ: (-6; 1).

8)
(x-4)³(7x-x²-10)≤0
-(x-4)³(x²-7x+10)≤0
(x-4)³(x²-7x+10)≥0

Разложим на множители:
x² -7x+10=0
D=(-7)² -4*10=49-40=9=3²
x₁=(7-3)/2=2
x₂=(7+3)/2=5
x²-7x+10=(x-2)(x-5)

Метод интервалов:
(x-4)³(x-2)(x-5)≥0
x=4    x=2     x=5
      -               +               -                +
--------- 2 ----------- 4 ----------- 5 -------------
                \\\\\\                      \\\\\\\\
x=0     -   -   -   |   -
x=3     -   +  -   |   +
x=4.5  +  +  -   |   -
x=6     +  +  +  |   +

x∈[2; 4]U[5; +∞)
Ответ: [2; 4]U[5; +∞).