Журналист
Keas 4 ноября 2019 в 08:27

Производная сложной функции

1) y=e^-x
2) y=√e^x
3) y=e^x-e^-x/2
4) y=e^x+e^-x/2
5) y= 16^√x^3+6x+14
6) y=e^(3x+5)^2
7) y=a^3x
8) y=a^x e^x
9) y=lg(2x)
10) y=In 3x
11) log3(4x-2)
12) y=In(x^3)
13) y=(In x)^3

Общее правило: производная сложной функции равна произведению производной внешней функции и произведению внутренней:f(g(x) = f(g)cdot g(x). Разберём подробно несколько примеров, на остальные я только дам ответы, т.к. заданий много, решение получится длинное.

Начнём с простого.
№1
y=e^{-x}\amp;#10;f=e^{g}\amp;#10;g = -x \amp;#10;y=f(g)cdot g(x) = e^gcdot(-1)=-e^{-x}
Производная kx равна просто k, т.е. -1 в нашем случае, а производная экспоненты равна самой экспоненте.

Теперь возьмём что-нибудь сложное.
№5
y=16^{sqrt{x^3}}+6x+14\amp;#10;f=16^g\amp;#10;g=sqrt{x^3}=x^{frac{3}{2}}\amp;#10;y = f(g)cdot g(x) + (6x) + (14) = (16^g)cdot(x^frac{3}{2})+6+0 = \ = 16^gcdot ln{16} cdot frac{3}{2}x^{frac{1}{2}}+6=frac{3}{2}cdot16^{sqrt{x^3}}cdot ln16cdot sqrt{x}+6
Понятно, что проблемы могут тутвозникнуть только с первым слагаемым, остальное дифференцируется очень легко. Нужно помнить, как брать производную от a^x, свойства корней и правило производной сложной функции, конечно же.

Разберём случай двойной вложенности y = f(g(h(x))).
№6
y=e^{(3x+5)^2}\amp;#10;f=e^g\amp;#10;g=h^2\amp;#10;h=3x+5 \ y= f(g) cdot g(h)cdot h(x) = (e^g)cdot (h^2)cdot(3x+5)=e^gcdot2h cdot 3 = \ =6e^{(3x+5)^2}cdot(3x+5)
Здесь мы видим уже три функции, вложенные друг в друга: экспонента, степень и kx. Главное в таких случаях не пугаться и подробно всё расписать;)

Ну и напоследок что-нибудь с логарифмом.
№13
y=ln^3x\amp;#10;f=g^3 \amp;#10;g=ln x\amp;#10;y=f(g)cdot g(x) = (g^3)cdotfrac{1}{x} = frac{3g^2}{x} = frac{3ln^2 x}{x}

Остальные задания делаются по тому же принципу.
Ответы:
displaystyleamp;#10;2) frac{sqrt{e^x}}{2} \amp;#10;3) e^x + frac{e^{-x}}{2} \amp;#10;4) e^x -frac{e^{-x}}{2} \amp;#10;7) 3a^{3x} ln{a} \amp;#10;8) e^x a^x+e^x a^x ln a \amp;#10;9) frac{1}{x ln10} \amp;#10;10) frac{1}{x} \ 11) frac{2}{2xln 3 - ln 3} \amp;#10;12) frac{3}{x}


Сложение, вычитание, умножение
Для комментирования необходимо зарегистрироваться на сайте