Ветка мимозы - окончание ы, значит Родительный падеж.
Дарю сестре - окончание е и вопрос Кому чему Значит Дательный падеж. (сложно определить.)
Пишу ему - вопрос Кому чему Значит, дательный падеж.
Письмо о них - предлог о бывает только у Предложного падежа.
Рисую её - кого что Винительный падеж.
Шёл мимо - здесь сама не пойму. Вроде же вопрос как Значит наречие.
и того, мне кажется, сложно определить в случае с "дарю сестре"