Обозначим длины сторон треугольника за a,b,c. Пусть a≤blt;c, то есть, сторона c треугольника является наибольшей. Обозначим за x длину высоты, проведенной к стороне a, за y высоту, проведенную к стороне b и за z высоту, проведенную к стороне c.

Известно, что площадь треугольника равна половине произведения стороны на проведенную к ней высоту. Следовательно,
1/2*ax=1/2*by=1/2*cz=S, ax=by=cz.

Покажем, что xgt;z и ygt;z. Действительно, из равенства ax=cz следует x=cz/a, но alt;c, тогда x=(c/a)*zgt;1*z=z. Аналогично, y=(c/b)*zgt;1*z=z. Таким образом, высота z, проведенная к наибольшей стороне треугольника c, меньше двух других высот, что и требовалось доказать.