1.
sin6x=√3sin3x
sin(2*3x)-√3sin3x=0
2sin3xcos3x-√3sin3x=0
sin3x(2cos3x-√3)=0

a) sin3x=0
    3x=πk
    
    k∈Z
    При k=1     x=π/3 = 6π/18

b) 2cos3x-√3=0
    2cos3x=√3
    
    k∈Z
    При k=0      x=π/18 - наименьший положительный корень
 
    
    k∈Z
    При k=1      x= -π/18 + 2π/3 = -π/18 + 12π/18=11π/18
Ответ: π/18.

2.
x∈(0; 2π)
cos³x-2cos²x=3cosx
cos³x-2cos²x-3cosx=0
cosx(cos²x-2cosx-3)=0

1) cosx=0
    x=π/2+ πk, k∈Z
    При k=0      x=π/2 - подходит
    При k=1      x=π/2 + π = 3π/2 - подходит
    При к=2      x=π/2 + 2π - не подходит
    
2) cos²x-2cosx-3=0
    t=cosx
    t²-2t-3=0
    D=(-2)² -4*(-3)=4+12=16=4²
    t₁=(2-4)/2=-1
    t₂=(2+4)/2=3
 
    При t= -1
    cosx= -1
    x=π + 2πk, k∈Z
    При k=0    x=π - подходит
    При k=1    x=π+2π=3π - не подходит

В итоге получилось 3 (три) различных аргумента х∈(0; 2π): π/2; π; 3π/2.
Ответ: 3.

3.
x∈(-180°; 90°)
sin4x+co2x=0
sin(2*2x)+cos2x=0
2sin2xcos2x+cos2x=0
cos2x(2sin2x+1)=0

1) cos2x=0
    2x=π/2 + πk, k∈Z
    
    k∈Z
    При k=-2    x=π/4 - π= -3π/4 = -(3*180°)/4= -135° - подходит
    При k=-1    x=π/4 - π/2 = π/4 - 2π/4 = - π/4= -180°/4= -45° - подходит
    При k=0     x=π/4=180°/4=45° - подходит

2) 2sin2x+1=0
    2sin2x= -1
    sin2x= -1/2
    
    k∈Z
   
    При k= -2
    
не подходит
 
    При k= -1

    подходит
 
    При k=0

    подходит
 
    При k=1
 
    не подходит

Корни уравнения, принадлежащие промежутку (-180°; 90°):
-135°; -75°; -45°; -15°; 45°.

-135° + 45°= -90°
Ответ: -90°.

4.
5+cos²2πx=5-(4x+1)²
cos²2πx= -(4x+1)²

1) y=cos² 2πx
    Область значений Е(у)=[0; 1]

2) y= -(4x+1)²
    y= -(16x²+8x+1)
    y= -16x²-8x-1 - это парабола, ветви которой направлены вниз.
    Вершина параболы:
    х₀= - (-8)/(2*(-16))=8/(-32)= -1/4= -0,25
    у₀= -(4*(-1/4)+1)²= -(-1+1)²=0
    (-1/4; 0) - вершина параболы.

3) В точке х= -1/4
    cos²(2π*(-1/4))=cos²(-π/2)=0

Итак, абсолютная величина наименьшего корня данного уравнения:
|-1/4|=1/4=0.25
Ответ: 0,25