Приведём к общему знаменателю:
(x^4+x^2+4)/x^2=8

Умножим на икс квадрат:
x^4+x^3+2x+4=8x^2

Вычтем 8x^2:
x^4+x3-8x^2+2x+4=0

(x-2)(x-1)(x^2+4x+2)=0

Получаем три уравнения: 

x-2=0    x-1=0    x^2+4x+2=0

В двух первых понятно.

Для последнего:
(x+2)^2=2
x+2=корень из 2 или x+2= -корень из 2

Вычитаем 2:

x= корень 2 - 2 или x+2= -корень 2 = -2-корень 2

Итого: x=2, x=1, x=корень 2 - 2, x= -2 - корень 2