# Код на ruby 2.2.3p173
min = 600*600
for width in 1..600
    height = 600.0 / width
    perimeter = 2 * (width + height)
    if perimeter lt; min
        min = perimeter
        p [width, height]
    end
end

Последний вывод
[24, 25]

если брать аналитически, то очевидно, что наименьший периметр будет у фигуры наиболее приближенной к кругу. Для прямоугольника это будет квадрат. А его стороны соответственно sqrt(600) = 10*sqrt(6) = 24.49489742783178